Kuliah

APLIKASI TURUNAN

A. Maksimum dan Minimum

Definisi:

Missal s, adalah daerah asal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa:

(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di s;

(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di s;

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

 

 

 

 

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f dide

finisikan pada selang I yang memuat titik c, jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu:

(i) titik ujung dari i

(ii) titik stasioner dari f(f’(c) = 0);

(iii) titik singular dari f(f’(c) tidak ada).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B. Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi:

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun).sehingga biasa dikatakan bahwa:

(i) f adalah naik

pa

da I jika untuk se

tiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I,

x

₁ <>

₂ f

(x₁) < f (x₂)

(ii) f adalah turuna

n pad

a I j

ika untuk setiap pasangan bilangan x₁ dan x₂ dalam I,

x₁ <>2 f (x₁) > f (x

₂

)

(iii) monoton murni pada I j

ika ia naik pada I atau turun pada I.

 

 

 

Teorema A

 

(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang
 

dan dapat dideperensialkan pada

setiap titik dalam dari I.

 

(i) jika f’(x) > 0 un

tuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

(ii) jika f’(x) < >I, maka f turun pada I.

Definisi

Andaikan f terdiferensial pada se

lang terbuka I = (a,b) jika f’ naik pada I, f dan grafiknya cekung ke atas, jika f’ turun pada I, f cekung ke bawah pada I.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Teorema B

 

(Teorema Kecekungan). Andaikan f terdifere

nsial dua kali pad

a selang terbuka (a,b).

(i) jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).

(ii) jika f”(x) <>

m (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).

C. Maksimum dan Minimum Lokal

Defenisi:

Andaikan s, daerah a

sal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa:

(i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ s;

(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika te

rdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ s;

(iii) f(c) nilai ekstr

im local f jika ia berupa nilai maksim

um local atau minimum local.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Teorema A

(uji turunan pertama untuk ekstrim lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i) jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f’(x) < >f(c) adalah nilai maksimum local f.

(ii) jika f’(x) < >f’ (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

(iii) jika f’ (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nilai ekstrim local f.

Teorema B

(Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal). Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0

(i) jika f” (c) < >f.

(ii) jka f” (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

D. Lebih Banyak Masalah maks-min

Langkah untuk menyelesaikan masalah maks-min terapan adalah sebagai berikut:

1. Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yang sesuai untuk besaran-besaran kunci.
2. Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variable-variabel tersebut.
3. Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variable-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variable, misalnya x.
4. Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebua selang.
5. Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner di mana dQ/dx = 0.

E. Penerapan Ekonomi

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri, misalnya ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali menggunakan kosakata ini, maka akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi yang sama halnya dengan masalah kalkulus biasa. Untuk memproduksi dan memasarkan sebuah barang (x satuan), perusahaan ajan mempunyai biaya total C(x). ini biasanya jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan dan sebagainya) ditambah biaya variable, yang secara langsung tergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi.

Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni selisih antara pendapatan dan biaya. Dengan sistematis dapat ditulis P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x).

Biaya marjinal: dC/dx.

Biaya rata-rata: C(x)/x.

Pendapatan marjinal: dR/dx.

Laba marjinal: dP/dx = dR/dx – dC/dx.

F. Limit di Ketahinggaan, Limit Tak Terhingga

Definisi:

(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk suatu bilanganc, kita katakana bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang

x → ∞

berpadanan sedemikian sehingga

x > M │f(x) – L │< ε

Definisi

(Limit bila x → - ∞). Andaikan f terdefinisi pada (- ∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakana bahwa lim f(x) = L jika untuk masimg-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang

x → - ∞

berpadanan sedemikian sehingga

x < > │f(x) – L │< ε

Definisi:

(Limit-limit tak-terhingga). Andaikan lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan positif M,

x → c⁺

berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga

0 < > f(x) > M

G. Penggambaran Grafik Canggih

Poloinom derajat 1 atau 2 sangat jelas untuk digambar grafiknya, tapi yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalkan 3 sampai 6, kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

Fungsi Rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan dibandingkan polinom. Dibawah ini merupakan langkah-langkah dalam menggambarkan grafik suatu fungsi adalah sebagai berikut, yaitu:

1. Buat analisis pendahuluan sebagai berikut:

a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan.

b. Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil).

c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik atau turun.

e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local.

f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik

g. Cari asimtot-asimtot.

2. Gambarlah beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik).

3. sketsakan grafik.

H. Teorema Nilai Rata-rata

Teorema A

(Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensialpada titik-titikdalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) di mana

(f(b) – f(a)) / ( b - a ) = f’ (c)

atau secara setara dimana

f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

 

Bukti dari teorema di atas adalah

Misalkan sebua fungsi s(x) = f(x) – g(x). di sini y = g(x) adalah persamaan garis yang melalui (a,f(a)) dan (b,f(b)).karena garis ini mempunyai kemiringan [f(b) – f(a)] / (b,a) dan melalui (a,f(a)), bentuk titik kemiringan untuk persamaanya adalah

g(x) – f(a) = ((f(b) – f(a)) / (b – a)) (x – a)

kemudian ini menghasilkan rumus untuk s(x), yaitu,

s (x) = f(x) – f(a) – (((f(b) – f(a)) / (b – a)) (x – a)

sehingga jika s(b) = s(a) = 0 dan bahwa untuk x dalam (a,b), maka

s’(x) = f’(x) – ((f(b) – f(a)) / (b – a)

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a,b0 maka terdapat konstanta c sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + c

Untuk semua x dalam (a,b).

Bukti dari teorema di atas adalah

Andaiakan H(x) = F(x) – G(x). maka

H’(x) = F’(x) – G’(x) = 0

Untuk semua x dalam (a,b) . pilih x₁ sebagai suatu titik (tetap) dalam (a,b) dan andaikan x sembarang titik lain di sana. Fungsi H memenuhi hipotesis dari teorema nilai rata-rata pada selang tertutup dengan titik-titik ujung x₁ dan x. jadi terdapat sebuah bilangan c di antara x₁ dan x sedemikian sehingga

H’(x) – H(x₁) = H’(c)(x – x₁)

Tetapi menurut hipotesis H’(c) = 0. karena itu, H(x) – H(x₁) = 0 atau secara setara H(x) = H(x₁) untuk semua x dalam (a,b). karena H(x) = F(x) – G(x), dapat di simpulkan bahwa F(x) – G(x) = H(x₁). Sekarang andaikan c = H(x₁), dan kita mempunyai kesimpulan bahwa F(x) = G(x) + c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Soal dan Penyelesaian

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x pada interval [0,3]?

Penyelesaian:

a. turunkan fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x sehingga menjadi f’(x) = 6x – 18x + 12

2. menentukan titik kritis

6x – 18x + 12 = 0

(6x – 12) (x – 1) = 0

6x – 12 = 0 x – 1 = 0

x = 2 x = 1

c. intervalnya [0,3] sehingga titik kritisnya adalah 0, 1, 2, 3

d. menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dengan mensubstitusikan titik kritis kedalam fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x

x = 0 → f(0) = 2(0)³ – 9(0)² + 12(0) = 0 → nilai minimum

x = 1 → f(1) = 2(1)³ – 9(1)² + 12(1) = 5

x = 2 → f(2) = 2(2)³ – 9(2)² + 12(2) = 4

x = 3 → f(3) = 2(3)³ – 9(3)² + 12(3) = 9 → nilai maksimum

jadi dari fungsi diatas ditentukan bahwa nilai fungsi f(0) adalah nilai minimum dan nilai fungsi f(3) adalah nilai minimum

 

2. Tentukan dimana fungsi h(x) = 4x³ – 6x² – 24x + 14 naik dan dimmana turun?

Penyelesain:

menurunkan fungsi h(x) = 4x³ – 6x² – 24x + 14 → h’(x) = 12x² – 12x – 24

12x² – 12x – 24 = 0

(3x – 6) (4x + 4) = 0

3x – 6 = 0 4x + 4 = 0

x = 2 x = -1

sehingga dapat ditentukan dimana (3x – 6) (4x + 4) > 0 dan dimana (3x – 6) (4x + 4) <>

(+) (0) (-) (0) (+)

-1 2

 

titik pemisah adalah -1 dan 2, sehingga membagi sumbu x atas tiga selang yaitu

(-∞,-1), (-1,2), (2,∞).

Menurut teorema jika h’(x) >0 maka h naik pada I dan jika h’(x) <>

3. Tentukan dimana fungsi h(x) = 1/3x³ – 1/2x² – 6x + 1 naik dan dimana turun?

Penyelesaian:

menurunkan fungsi h(x) = 1/3x³ – 1/2x² – 6x + 1 → h’(x) = x² – x + 6

x² – x + 6 = 0

(x + 2) (x – 3) = 0

x + 2 = 0 x – 3 = 0

x = -2 x = 3

sehingga dapat ditentukan dimana (x + 2) (x – 3) > 0 dan dimana (x + 2) (x – 3) <>

(+) (0) (-) (+)

-2 3

titik pemisah adalah -2 dan 3, sehingga membagi sumbu x atas tiga selang yaitu

(-∞,-2), ( -2,3) dan (3, ∞). Sehingga menurut teorema bahwa fungus h naik pada(-∞,-2] dan [3, ∞), h turun pada interval [-2,3].

4. Tentukan dimana fungsi h(x) = 1/3x³ – 1/2x² – 2x cekung ke atas , cekung kebawah dan dimana naik dan turun.

Penyelesaian:

menentukan turunan pertama dan kedua fungsi h(x) = 1/3x³ – 1/2x² – 2x

h’(x) = x² – x - 2

(x + 1) (x – 2) = 0

x = -1 x = 2

h”(x) = 2x – 1

2x – 1 = 0

x = 1/2

(+) (0) (-) (+)

-1 2

(-) (+)

½

Teorema tentang kecekungan bahwa jika h”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka h cekung keatas dan jika h”(x) <>

Sehingga fungsi h cekung keatas pada interval [-1/2,∞) dan fungsi h cekung kebawah pada interval (-∞,1/2), juga fungsi h naik pada interval (-∞,-1) dan [2,∞) dan fungsi h turun pada interval [-1,2].

 

5. Carilah nilai ekstrim local baik minimum lokal maupun maksimum lokal dari fungsi f(x) = 4x/(-x² – 16)

Penyelesaian:

mencari turunan fungsi f(x) = 4x/(-x² – 16) sehingga turunannya adalah

f’(x) = -48 + 3x²/(-x² – 16)²

-48 + 3x²/(-x² – 16)² = 0

-48 + 3x² = 0

x = 4

sehingga titik kritisnya adalah -4 dan 4

dengan demikian dapat ditentukan nilai maksimum local dan minimum local dengan mensubstitusikan ke persamaan fungsi f(x) = 4x/(-x² – 16)

x = -4 → f(-4) = 4(-4)/(-(-4)² – 16) = 1/2 → maksimum lokal

x = 4 → f(4) = 4(4)/(-(4)² – 16) = -1/2 → minimum local

 

6. Seorang peternak mempunyai 100 m bambu yang direncanakan untuk memagari kandang hewan yang berbentuk persegi panjang dengan satu sisinya tembok gudang. Tentukan ukuran kandang yang akan memaksimumkan luas daerah kandang hewan tersebut?

Penyelesaian:

misalkan , panjang = y dan lebar = x

luas persegi panjang adalah p × l = xy. Panjang dari semua kawat 100 m, sehingga

2y + x = 100 atau y = 100 – 2x

A(x) = x(100 – 2x) = 100x – 2x²

100 – 2x = 0

x = 50 sehingga intervalnya 0 <>

menentukan titik kritis dengan menurunkan persamaan yaitu A(x) = 100x – 2x² sehingga turunannya menjadi A’(x) = 100 – 4x

100 – 4x = 0

x = 25

sehingga titrik kritisnya adalah x = 0, 25, 50

mensubstitusikan titik kritis kedalam persamaan A(x) = 100x – 2x²

A(0) = 100(0) – 2(0)² = 0

A(25) = 100(25) – 2(25)² = 1250 → maksimum mutlak

A(50) = 100(50) – 2(50)² = 0

Jadi luas maksimumnya adalah A(25) = 1250 m². dari persamaan y = 100 – 2x dapat diketahui bahwa jika nilai x = 25 maka nilai y adalah

y = 100 – 2x

y = 100 – 2(25)

y = 50

sehingga panjang dua sisi yang tegak lurus dengan tembok gudang adalah 25 m dan sisi yang sejajar dengan tembok lurus adalah 50 m.

 

7. Tentukan biaya rata-rata tiap satuan, biaya marjinal, dan hitung biaya tiap satuan jika c(x) = (17600 + 6,5x + 80^1/3) dan x = 2000

Penyelesaian:

Biaya rata-rata : c(x)/x = (17600 + 6,5x + 80^1/3)/x

Biaya marjinal : dC(x)/dx = 6,5 + 80/3x^-2/3

Dalam x = 2000, masing-masing mempunyai nilai-nilai 23,9 dan 6,76. hal ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah

Jika tiap satuannya bernilai Rp.2000 maka

f(23,9) → Rp.2000(23,9) = Rp.47800

f(6,76) → Rp.2000(6,76) = Rp.13520

dengan demikian bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. Rp.47800 untuk memproduksi 2000 satuan yang pertama; dan untuk memproduksi satu satuan di atas 2000 hanya memerlukan biaya Rp.13520.

 

8. Tentukan lim = 7x + 11/ √(x + 5)

x→∞

Penyelesaian:

lim = (7x/x + 11/x)/(√x²/x ²+ 5/x²)

x →∞

lim = (7 + 11/x)/(√1 + 5/x²)

x→∞

= (7 + 11/∞)/(√1 + 5/∞)

= (7 + 0)/(1 + 0)

= 7

9. Sketsalah grafik darib fungsi f(x) = 2x³ – 4x² – 8

f(x) = 2x³ – 4x² – 8

2x(x² – 2x – 8) = 0

2x = 0 (x² – 2x – 8) = 0

x = 0 (x – 4) (x + 2) = 0

x – 4 = 0 x + 2 = 0

x = 4 x = -2

titik potongnya adalah (0,0), (4,0), (-2,0)

f’(x) = 6x² – 8x – 16

6x² – 8x – 16 = 0

menggunakan rumus abc:

x_1,2 = (-b ± √ b² – 4ac)/2a

= (-(-8) ± √((-8)² – 4(6)(-16)))/2(6)

= (8 ± √(64 + 384))/12

= (8 ± 8√7)/12

x₁ = 2/3 - (2/3√7)

x₂ = 2/3 - (2/3√7)

sehingga titik kritisnya adalah (-∞,(2/3 - (2/3√7))), ((2/3 - (2/3√7)), (2/3 - (2/3√7)),

((2/3 - (2/3√7)), -∞).

x = 2 → f(2) = 2(2)³ – 4(2)² - 8 = -8 → minimum lokal

x = -1 → f(-1) = 2(-1)³ – 4(-1)² – 8 = 2 → maksimum lokal

Dengan titik kritis diatas dapat menidentifikasikan suatu pungsi apakah fungsi f naik atau turun dengan mensubstitusikan titik kritis tersebut kedalam persamaan fungsi f(x) = 6x² – 8x – 16.

Pada (-∞,(2/3 - (2/3√7))) → f’(-2) = 6(-2)² – 8(-2) -16 = 24 > 0 f naik

Pada ((2/3 - (2/3√7)) → f’(1) = 6(1)² – 8(1) – 16 = -18 <>

Pada (2/3 - (2/3√7)) → f’(3) = 6(3)² – 8(3) – 16 = 14 > 0 f naik

Setelah menentukan fugsi naik dan fungsi turun langkah selanjutnya adalah menentukan dimana fungsi ini cekung keats dan dimana fungsi ini cekung kebawah dengan mencari fungsi turunan kedua

f”(x) = 12x – 8

12x – 8 = 0

x = 2/3

(-) (+)

2/3

f cekung keatas pada interval [2/3, -∞) dan f cekung kebawah pada interval (-∞,2/3]

 

 

 

 

 

 

10. Carilah semua bilangan c yang memenuhi kesimpulan teorema nilai rata-rata pada fungsi f(x) = 3x² + 6x – 5 pada interval [-2,1]

penyelesaian:

Menurunkan fungsi f(x) = 3x² + 6x – 5 → f’(x) = 6x + 6

f’(x) = 6x + 6

(f(b) – f(a))/(b-a) = (f(1) – f(-2))/(1-(-2)) = (4 – (-5)) – 3 = 3

sehingga 6c + 6 = 3

6c = -3

c = -(1/2)

dengan demikian bilangan c adalah -(1/2) yang berada pada selang (-2,1).